🏷 Thème : Fonctions

Ce qu'il faut savoir

Une fonction est un procédé qui, à un nombre, en associe un seul. Toute la notion tient dans ce « un seul » : peu importe que le procédé soit une formule, une machine, un dessin ou un texte, pourvu qu'il ne rende jamais deux réponses pour une même entrée.

Une dépendance avant d'être une notation

Le collège n'aborde pas cette idée d'un bloc. En 5ème, tout le chapitre tient dans une expression à faire entrer dans le vocabulaire : « en fonction de ». En 4ème, on apprend à produire une formule qui exprime une grandeur en fonction d'une autre, et à la représenter par un graphique. Ce n'est qu'en 3ème qu'arrivent le mot fonction, la notation et le vocabulaire.

Le programme ajoute une précision qui devrait rassurer beaucoup d'élèves : des exemples de fonctions sont étudiés en troisième « sans étude générale de la notion de fonction ». Autrement dit, chercher la définition abstraite est un contresens — ce qui est attendu, c'est de savoir circuler entre les représentations d'exemples concrets.

Image et antécédent : l'asymétrie qui décide de tout

Le programme écrit « image, antécédents » — l'un au singulier, l'autre au pluriel. Ce n'est pas une coquille : c'est la propriété la plus importante du chapitre.

D'où le sens de lecture, qui est le vrai savoir-faire : chercher une image, c'est partir du nombre de départ et suivre le procédé ; chercher un antécédent, c'est partir de l'arrivée et remonter. Les élèves de 4ème le font déjà sans le mot — « retrouver le nombre de départ après avoir remonté un programme de calcul » est exactement une recherche d'antécédent.

Quatre façons de dire la même chose

L'attendu de 3ème n'est pas de connaître les représentations séparément mais d'« utiliser les différentes représentations » — c'est-à-dire de passer de l'une à l'autre. Chacune montre quelque chose et en cache une autre.

La question d'examen consiste presque toujours à changer de représentation : lire une image sur un graphique, compléter un tableau à partir d'une formule, retrouver une formule à partir d'un énoncé. Savoir laquelle est fiable décide de la réponse — une valeur lue graphiquement est une lecture, pas une preuve, et l'énoncé attend souvent qu'on le dise.

Les exemples qu'on étudie vraiment

Puisque le programme n'étudie pas la notion en général, il en fixe trois exemples, et ce sont eux qui tombent au brevet.

• Les fonctions linéaires, qui ne sont rien d'autre que la proportionnalité écrite autrement : le programme demande explicitement de relier les deux.
• Les fonctions affines, avec la lecture graphique de leurs deux coefficients.
• La fonction carré, la seule des trois dont la représentation n'est pas une droite. Elle est là précisément pour casser les automatismes : elle n'est pas proportionnelle, elle ne prend jamais de valeur négative, et elle donne la même image à deux nombres opposés.

Les erreurs classiques

• 1.Confondre image et antécédent. « L'image de 3 » et « l'antécédent de 3 » sont deux questions opposées. Repère : l'image se calcule en avançant, l'antécédent se cherche en remontant — et souvent en résolvant une équation.
• 2.Croire qu'un nombre a forcément un antécédent, et un seul. Avec la fonction carré, 9 en a deux et −4 aucun. Répondre « 3 » seul à « quels sont les antécédents de 9 ? » est une réponse incomplète, donc fausse.
• 3.Lire f(x) comme un produit. Ce n'est pas f × x mais « l'image de x par f ». La confusion est d'autant plus tenace que le calcul littéral a justement appris à sous-entendre les multiplications.
• 4.Prendre un tableau de valeurs pour la fonction. Un tableau ne donne que des points isolés. Il ne permet ni d'affirmer qu'une valeur intermédiaire suit la même règle, ni de conclure à la proportionnalité sur la foi de deux colonnes.
• 5.Supposer que toute dépendance est proportionnelle. Le réflexe du produit en croix s'applique aux fonctions linéaires et à elles seules. Une fonction affine avec un abonnement, une aire qui dépend d'un côté : doubler l'entrée n'y double pas la sortie.
• 6.Lire un graphique sans regarder les axes. Une image lue au jugé, sur un axe dont la graduation n'a pas été vérifiée, est fausse d'un facteur constant — et rien dans le résultat ne le signale.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• Le calcul littéral : substituer une valeur à une lettre, et traduire un enchaînement d'opérations en une seule expression.
• Le repérage dans le plan — sans lecture sûre des coordonnées, aucun graphique n'est exploitable.
• Les équations, qui sont l'outil de la recherche d'antécédents.
• La proportionnalité et les nombres relatifs.

Ce que ça prépare

• Les fonctions linéaires et les fonctions affines, les deux exemples travaillés en détail.
• La lecture des graphiques en statistiques et dans les autres disciplines, la physique-chimie en tête.
• Au lycée : l'étude générale des fonctions, justement — variations, dérivées, et l'idée que la pente locale d'une courbe se calcule.