🏷 Thème : Fonctions affines

Ce qu'il faut savoir

Une fonction affine multiplie, puis ajoute. On se donne deux nombres a et b, et à chaque nombre x la fonction associe ax + b.

Deux cas particuliers, tous deux affines : si b = 0, la droite passe par l'origine et la fonction est linéaire ; si a = 0, la droite est horizontale et la fonction est constante. Le signe de a donne le sens de variation : croissante si a est positif, décroissante s'il est négatif.

Situation 1 — l'expression est connue, on cherche l'image d'un nombre

On remplace x par le nombre donné et on calcule. C'est un calcul direct, sans détour : f(3) pour f(x) = 2x − 1 vaut 2×3 − 1, soit 5.

Situation 2 — l'expression est connue, on cherche un antécédent d'un nombre

On ne calcule plus, on résout. Chercher l'antécédent de 7 pour la même fonction, c'est résoudre l'équation 2x − 1 = 7. C'est la différence de nature entre les deux situations : l'image se calcule, un antécédent se cherche — et l'article dit déjà l'essentiel. L'image d'un nombre est unique, c'est ce qui fait de f une fonction. Un antécédent ne l'est pas : ici, parce que a n'est pas nul, il y en a exactement un, mais une autre fonction peut en donner plusieurs, ou aucun.

Situation 3 — on ne connaît pas l'expression, il faut la déterminer

À partir de deux couples connus — lus sur un graphique, dans un tableau ou dans un énoncé — on trouve d'abord le coefficient directeur, puis l'ordonnée à l'origine :

Sur un graphique, b se lit directement à l'intersection avec l'axe des ordonnées, ce qui évite la seconde étape. Le simulateur de fonction affine permet de faire varier a et b et d'observer comment la droite pivote ou se translate.

Les erreurs classiques

• 1.Raisonner par proportionnalité. C'est l'erreur la plus coûteuse : de f(2) = 5, on ne peut pas déduire f(4) = 10. Dès que b n'est pas nul, doubler x ne double pas f(x) — c'est justement ce qui sépare l'affine de la linéaire. Le réflexe du tableau de proportionnalité est ici un piège.
• 2.Échanger a et b. Sur un graphique, b se lit là où la droite croise l'axe des ordonnées ; a se lit sur la pente, en avançant de 1 vers la droite et en mesurant la montée ou la descente. Les intervertir donne une droite qui ne ressemble en rien à celle de l'énoncé — un tracé rapide suffit à s'en apercevoir.
• 3.Confondre image et antécédent. L'image se calcule en remplaçant ; un antécédent se trouve en résolvant une équation. Chercher un antécédent en substituant donne toujours un résultat, mais ce n'est pas celui qui était demandé.
• 4.Se tromper d'ordre dans le calcul de a. Numérateur et dénominateur doivent suivre le même ordre de points : si l'on écrit y₂ − y₁ en haut, il faut x₂ − x₁ en bas. Inverser l'un des deux change le signe de a, donc le sens de variation de la droite.
• 5.Croire qu'une droite horizontale n'est pas une fonction affine. Si a = 0, f(x) = b reste une fonction affine — constante, mais affine. De même, toute fonction linéaire est affine : c'est le cas b = 0. L'inclusion ne va que dans un sens.
• 6.Lire f(x) comme un produit. f(x) n'est pas f multiplié par x : c'est le résultat obtenu en appliquant f au nombre x. La confusion conduit à des simplifications qui n'existent pas.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• Les fonctions linéaires, dont l'affine est la généralisation.
• Le calcul littéral : substituer une valeur, réduire une expression.
• La résolution d'équations du premier degré, indispensable pour les antécédents.
• Le repérage dans le plan, pour lire et tracer une droite.

Ce que ça prépare

• La comparaison de deux fonctions et, au lycée, les systèmes d'équations.
• Le traitement de données en statistiques, où une droite ajuste un nuage de points.
• La programmation d'une formule dans un tableur ou en Python, en algorithmique.
• Au lycée : le taux de variation, puis la dérivation, dont le coefficient directeur est le premier exemple.