🏷 Thème : Factorisation

Ce qu'il faut savoir

Factoriser, c'est transformer une somme en produit — le chemin inverse du développement. Mais l'inverse d'une procédure n'est pas une procédure : là où développer s'applique, factoriser se cherche. C'est ce qui rend ce chapitre difficile, et ce qui explique qu'on n'y progresse pas en apprenant une règle de plus.

Deux techniques, une même difficulté : voir

Les formules sont les mêmes qu'au développement : rien de nouveau à apprendre. Ce qui change, c'est qu'on part du membre de droite au lieu du membre de gauche, et qu'il faut d'abord reconnaître qu'on est dans l'un de ces cas. Toute la difficulté est là, et elle est de nature visuelle.

Le facteur commun et ses déguisements

Quand le facteur commun est un nombre écrit devant chaque terme, personne ne se trompe. Il est rarement aussi visible. Quatre déguisements courants :

• Le facteur est une parenthèse entière. Dans (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x − 3), le facteur commun est (x + 1). On le met devant, et l'on additionne ce qui reste : (x + 1)[(x + 2) + (x − 3)].
• Un terme est le facteur. Dans 5x + 5, le second terme est le facteur lui-même ; ce qui reste après l'avoir sorti n'est pas rien, c'est 1. On obtient 5(x + 1). Même chose pour x² + x, qui donne x(x + 1).
• Le facteur se cache derrière un signe. (2 − x) et (x − 2) ne sont pas identiques, mais ils sont opposés : 2 − x = −(x − 2). Réécrire l'un en fonction de l'autre fait apparaître un facteur commun là où l'on n'en voyait pas.
• Le facteur est partiel. Dans 12x + 18, on peut sortir 2, ou 3, ou 6. Seul 6 mène à la factorisation complète : sortir le plus grand facteur commun évite d'avoir à recommencer.

Reconnaître une identité remarquable

Pour a² − b², il faut voir deux carrés séparés par un moins : dans 9x² − 16, reconnaître (3x)² et 4². Le réflexe utile est de se demander, devant chaque terme, « de quoi est-ce le carré ? » — 25, 49, 4x², 9y² sont des carrés qui ne s'annoncent pas.

Attention au signe, qui décide de tout : a² − b² se factorise, a² + b² ne se factorise pas. Ce n'est pas une lacune de méthode : aucune écriture en produit n'existe au collège. Chercher plus longtemps ne servirait à rien.

Pourquoi on factorise : l'équation produit nul

On présente souvent la factorisation comme un exercice de style, l'inverse du développement pour le plaisir de la symétrie. Sa vraie raison d'être est ailleurs, et elle est décisive.

Devant x² − 9 = 0, aucune manipulation du premier degré n'aboutit : on ne peut pas « faire passer » le carré. Mais en factorisant le membre de gauche en (x + 3)(x − 3), l'équation devient un produit égal à zéro, et les deux solutions apparaissent aussitôt. C'est la compétence que la factorisation débloque, et aucune autre technique ne la remplace.

D'où une conséquence pratique le jour de l'examen : quand un énoncé demande de factoriser puis de résoudre, les deux questions n'en font qu'une. La factorisation n'est pas un préliminaire décoratif — c'est elle qui rend la suite possible.

Les erreurs classiques

• 1.Oublier le 1. 5x + 5 donne 5(x + 1), et non 5(x). Quand on sort un terme entier, il reste 1 à sa place, pas le vide. La vérification par développement démasque l'erreur en une ligne.
• 2.Factoriser à moitié. Sortir 2 de 12x + 18 donne 2(6x + 9), qui reste factorisable. Chercher le plus grand facteur commun dès le départ : c'est le PGCD des coefficients.
• 3.Croire que a² + b² se factorise. Seule la différence de deux carrés se factorise. Le signe plus n'a pas d'équivalent — et s'obstiner fait perdre un temps précieux sur une expression qui, souvent, n'était pas celle qu'il fallait traiter.
• 4.Ne pas voir l'opposé. Face à (x − 2) d'un côté et (2 − x) de l'autre, on conclut trop vite qu'il n'y a pas de facteur commun. Un signe moins mis en évidence les réconcilie.
• 5.Développer alors qu'on demandait de factoriser. Le travail peut être irréprochable et sans valeur. Une expression déjà factorisée et égale à zéro est déjà à l'endroit : la développer détruit précisément ce qui permettait de conclure.
• 6.Ne pas vérifier. Le contrôle est gratuit et infaillible : développer le résultat doit redonner l'expression de départ. Le geste sûr contrôle le geste incertain.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• Le développement et les identités remarquables dans le sens direct : on ne reconnaît que ce qu'on a déjà écrit soi-même.
• Les conventions du calcul littéral et les règles de signes.
• Les carrés parfaits et le PGCD, pour repérer le plus grand facteur commun d'un coup d'œil.
• Les puissances, pour lire 9x² comme (3x)².

Ce que ça prépare

• Les équations produit nul, que rien d'autre ne permet de résoudre au collège.
• La simplification des fractions algébriques : on ne simplifie que des facteurs, donc il faut d'abord factoriser.
• Les démonstrations sur les nombres : prouver qu'une expression est toujours positive, ou divisible par un entier donné.
• Au lycée : le second degré, où factoriser et développer deviennent deux lectures d'une même expression — la forme factorisée donne les racines, la forme développée les coefficients.