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Il faut que genèse se passe.
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, calcul numérique, vous propose treize leçons, treize pages de questions flash, six pages d'exercices (2 400 fiches), trente devoirs (11 DS, 19 DM) en 6ème et 5ème et 3ème, quatre fiches de révision, vingt-deux épreuves d'annales, une page de problèmes (400 fiches) et sept articles de blog.
Le collège n'apprend pas seulement à calculer, il apprend surtout de nouveaux nombres — et chacun lève un interdit. Les nombres relatifs rendent possible toutes les soustractions, les fractions toutes les divisions, les puissances et la notation scientifique l'écriture des très grands et des très petits nombres. C'est le socle du calcul de tout le cycle 4, et l'outil de tous les autres chapitres.
🔖 Thèmes enfants : fractions (45) nombres-relatifs (23) puissances (30)
📗 6ème — 5 devoirs
Ce devoir mobilise principalement les compétences chercher, calculer et raisonner, avec du travail sur les fractions, les pourcentages, les périmètres, les aires et des suites de figures. Il fait aussi appel à la compétence représenter, notamment pour tracer des angles et interpréter une grille ou des figures géométriques.
Ce devoir maison travaille le repérage sur un échiquier avec les déplacements de la Dame, la résolution d'un problème d'ascenseur avec additions et soustractions relatives, et un puzzle logique de placement de pièces dans une grille avec contraintes.
Ce devoir maison travaille les suites numériques et la recherche de régularités, la programmation avec des séquences d'instructions répétitives et des déplacements sur quadrillage, ainsi que les égalités de fractions à travers un coloriage magique.
Ce devoir évalue les durées et la lecture d'horloges, les fractions (égalités, décomposition, encadrement), les constructions géométriques (cercle, médiatrice), le repérage dans un quadrillage, et la résolution d'un problème de logique avec des produits.
Ce devoir surveillé permet d'évaluer plusieurs compétences fondamentales du programme de sixième. Les élèves mobilisent leurs connaissances sur les fractions, les encadrements et les calculs de périmètre et d'aire. Ils exercent également leur raisonnement logique. Une activité de construction de triangles permet de vérifier la maîtrise des instruments de géométrie.
📘 5ème — 14 devoirs
Le devoir de la rentrée de janvier s'ouvre sur un carré magique de nombres relatifs : à partir de quatre cases, retrouver la somme magique, compléter le carré en expliquant l'ordre des déductions, puis prévoir ce que devient le carré quand on ajoute 4 à chaque nombre. Le deuxième exercice révise la géométrie du cycle 3 sur une feuille blanche : construire un triangle au rapporteur, mesurer, construire le symétrique d'un point par rapport à une droite, puis utiliser la conservation des angles et des longueurs pour trouver un angle et la nature d'un triangle sans mesurer. Le troisième est un problème du certificat d'études de 1880 (Paris) : une pièce d'étoffe achetée « à raison de 7 fr. les 5 mètres », revendue 25 fr. les 14 mètres, dont il faut retrouver la longueur grâce aux multiples communs.
Trois engrenages de 8, 12 et 20 dents tournent ensemble : au bout de combien de dents leurs marques se retrouvent-elles alignées ? Le problème conduit aux multiples communs, sans que le mot soit donné au départ. La deuxième partie prépare le chapitre de proportionnalité — recette à adapter, tableau à compléter et coefficient, remise en pourcentage, tableau à reconnaître comme proportionnel ou non. La troisième révise les priorités opératoires, le rangement de nombres relatifs et l'aire d'une figure composée d'un carré et d'un triangle rectangle.
Quatre équipes, six matchs et un classement à trous : il faut reconstituer victoires, nuls, défaites et points à partir de quelques indices, puis contrôler le tableau en comptant les matchs de deux façons. La deuxième partie prépare le chapitre sur les nombres relatifs — températures à ranger et à placer sur une droite graduée, comparaisons, profondeur d'un plongeur, opposés. La troisième révise la fraction d'une quantité, le périmètre et l'aire d'un rectangle, puis les priorités opératoires avec des carrés et des cubes.
Devoir surveillé sans calculatrice, à rédiger sur la copie. Une énigme d'âges, à traiter par essais organisés ou par le calcul, précède l'évaluation du cours du moment : priorités opératoires, carrés et cubes, valeur d'une expression littérale et premières équations. La dernière partie révise le programme de sixième — décimaux, proportionnalité, périmètre et aire.
Une pyramide additive à trous ouvre le devoir : une seule case manquante à retrouver, par essais ou par le calcul, ce qui amène naturellement l'idée d'inconnue. La deuxième partie prépare le chapitre des puissances — table des carrés, écriture d'un nombre sous forme de carré ou de cube, valeur d'une expression littérale. La troisième est un programme de construction de sixième, avec milieu, perpendiculaire et symétrie axiale.
Trois entrées comme fil rouge de l'année : une pour chercher, une pour préparer le chapitre en cours, une pour réviser. Ici, le problème des deux bidons non gradués (5 L et 3 L) ouvre le devoir sans qu'aucune leçon soit nécessaire ; viennent ensuite les priorités opératoires, les critères de divisibilité par 3 et par 9 et la division par un décimal ; le devoir se termine par un problème de sixième mêlant prix décimaux et fraction d'une quantité.
Ce devoir mobilise des compétences de construction géométrique, notamment la symétrie centrale et l'identification du milieu d'un segment. Il évalue aussi la maîtrise du calcul avec les nombres relatifs, en addition et en soustraction. Enfin, il vérifie les compétences sur les fractions : simplifier, compléter des égalités de fractions et comparer des nombres rationnels.
Ce devoir mobilise des compétences variées en mathématiques : la reproduction et la symétrie de figures sur quadrillage, la compréhension et l'expression de proportions sous forme de fractions, leur simplification, ainsi que le raisonnement logique et critique face à une situation concrète.
Ce devoir maison travaille les propriétés des angles dans un triangle avec recherche de contraintes arithmétiques (multiples), le repérage et l'ordre chronologique des dates historiques avec nombres relatifs, et le calcul d'aires et de pourcentages à travers un problème géométrique viral sur les réseaux sociaux.
Ce devoir met en œuvre plusieurs compétences : la résolution de problèmes numériques et logiques (âges), la maîtrise des fractions et du calcul dans un contexte concret (répartition de cupcakes), ainsi que la géométrie de construction et de représentation (tracés précis, symétrie, utilisation des instruments).
L'exercice de symétrie centrale renforce la maîtrise des propriétés géométriques. Un exercice de logique présenté sous forme de défi stimule le raisonnement et l'esprit critique. Et une activité de classement chronologique de dates historiques permet d'articuler connaissances en histoire et compétences mathématiques.
Compétences mobilisées : identifier et utiliser les propriétés des figures usuelles (cercle, quadrilatère), effectuer des calculs avec des nombres relatifs, interpréter une situation pour construire une démarche de résolution, exploiter des données issues d'un énoncé ou d'un visuel.
Ce devoir surveillé évalue plusieurs compétences fondamentales. En géométrie, les élèves construisent et analysent les propriétés d'un triangle isocèle, ainsi que calculent des aires de figures simples. En grandeurs et mesures, ils travaillent sur la proportionnalité. En algèbre, les notions de double, triple, carré, et cube d'un nombre sont mobilisées.
Le devoir n°8 propose deux exercices visant à développer la logique et la réflexion des élèves. Nombres relatifs, calculs d'aires, initiation aux équations.
📕 3ème — 11 devoirs
Le devoir part de la légende de Sissa, l'inventeur des échecs, qui réclame un grain de blé sur la première case de l'échiquier puis deux fois plus sur chaque case suivante : puissances de 2, conjecture sur la somme 2ⁿ − 1, notation scientifique, puis comparaison avec la production mondiale de blé. Le deuxième exercice porte sur les probabilités : deux tirages avec remise dans une urne, l'arbre des probabilités, et l'événement contraire pour « au moins une boule bleue ». Le troisième est un problème du certificat d'études de 1880 (Alpes-Maritimes) : retrouver un capital placé trois ans à 6 % à intérêts composés, en découvrant le coefficient multiplicateur et sa puissance.
Un problème ouvert pour commencer : trois formules de cinéma — une carte puis un tarif réduit, le plein tarif sans carte, un abonnement illimité — et la question de savoir laquelle conseiller selon le nombre de films vus dans l'année. Tableau, graphique ou calcul littéral, la méthode est libre mais la conclusion doit être complète. La deuxième partie prépare le chapitre de statistiques et de probabilités à partir des notes d'une classe : effectif total, étendue, moyenne, médiane et probabilité d'un événement. La troisième révise le théorème de Pythagore, la résolution d'équation et les puissances.
Le devoir s'ouvre sur un cryptarithme célèbre, SEND + MORE = MONEY : chaque lettre cache un chiffre, et c'est en raisonnant sur les retenues, colonne par colonne, que l'on trouve l'unique solution. La deuxième partie prépare le chapitre sur les puissances — produits et quotients de puissances de 10, notation scientifique, distance de Proxima du Centaure en kilomètres — avec un rappel sur les priorités et les fractions. La troisième révise le calcul littéral (développer, factoriser) et les pourcentages, dont le piège classique d'une hausse suivie d'une baisse de même taux.
Devoir surveillé à rédiger sur la copie, calculatrice autorisée. Il s'ouvre sur un problème de recherche — quels entiers possèdent exactement trois diviseurs — puis évalue le cours du moment : décomposition en facteurs premiers, fraction irréductible, racines carrées et encadrement, triangles semblables. La dernière partie révise le calcul littéral, la résolution d'équation et le théorème de Pythagore.
Trois entrées comme fil rouge de l'année : une pour chercher, une pour préparer le chapitre en cours, une pour réviser. Le jeu des 21 allumettes ouvre le devoir, et sa stratégie gagnante repose sur les multiples de 4 — de quoi amener le chapitre d'arithmétique. Viennent ensuite les diviseurs, la décomposition en facteurs premiers, la simplification de fraction et les racines carrées, puis un retour sur le calcul littéral et la mise en équation d'un problème de tarifs.
Ce devoir mobilise surtout les compétences sur les fractions (cycle 3 et 4), les puissances, le calcul littéral (développement et factorisation), et l'espace.
Compétences travaillées : décomposer un nombre en facteurs premiers, utiliser le PGCD pour résoudre un problème de pavage, rendre une fraction irréductible, calculer une probabilité et exploiter des données statistiques pour déterminer moyenne, médiane et étendue.
Ce devoir mobilise plusieurs compétences essentielles de niveau 3ème, telles que l'application du théorème de Pythagore et des relations trigonométriques dans des situations concrètes, la résolution de problèmes géométriques impliquant des triangles rectangles, ainsi que l'utilisation de l'écriture scientifique et des puissances.
Ce devoir mobilise les compétences de calcul du PGCD et de simplification de fractions, d'utilisation de notation scientifique, la reproduction et l'analyse de figures géométriques, le calcul de probabilités, ainsi que l'utilisation d'indicateurs statistiques tels que la moyenne, la médiane et l'étendue.
Ce devoir vise à renforcer les compétences en notation scientifique, en géométrie appliquée et en calcul de proportionnalité. Les élèves devront exprimer des nombres en notation scientifique et calculer une distance astronomique, justifier une méthode ancienne de construction géométrique, et comparer les prix au kilo d'un lot de sardines.
Pour le devoir surveillé n°3, les compétences évaluées incluent : calcul de synchronisation entre événements par le PPCM, reconnaissance de triangles semblables et calcul de longueurs manquantes, utilisation de formules en électricité pour la résistance équivalente, simplification d'expressions avec fractions et décomposition en facteurs premiers pour déterminer le PGCD.
Fiche de révision thématique sur les puissances et la notation scientifique en 3ème, style prépa brevet. Couvre les puissances entières positives et négatives, les règles de calcul, la notation scientifique et les conversions. Exercices avec correction complète.
Fiche de révision thématique sur les nombres relatifs en 5ème. Rappels sur la notion de nombres relatifs, comparaison, addition et soustraction. Exercices d'application progressifs.
Fiche de révision sur les fractions, de la 6ème jusqu'au brevet. Couvre la notion de fraction, la simplification, la comparaison, l'addition et la soustraction de fractions, la multiplication et la division. Exercices progressifs avec correction complète.
Fiche de révision sur la proportionnalité, de la 6ème jusqu'au brevet. Couvre la reconnaissance d'une situation de proportionnalité, la règle de trois, les pourcentages, les échelles et les problèmes de vitesse/durée/distance. Exercices progressifs avec correction complète.
Le thème calcul numérique apparaît dans 22 des 207 sujets de brevet du site (11 %), de 2008 à 2026. Les six sujets les plus récents :
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Amérique du Nord de juin 2026 (code 26GENMATAN1). Premier sujet du nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, 20 min, sans calculatrice) : 8 questions courtes (calcul fractionnaire, pourcentage, nature d'un quadrilatère, équation, lecture de coordonnées, médiane, trigonométrie, diviseur d'un entier). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, 1 h 40, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — réciproque de Pythagore, aire, Thalès (parallélisme) et trigonométrie. Exercice 2 — fonctions f(x)=(x−1)(x+3) et g(x)=2x+1 : image, antécédent, tableur, graphique, équation f(x)=g(x). Exercice 3 — intelligence artificielle : statistiques et probabilités (base d'images), puis puissances et écriture scientifique (consommation électrique en Wh). Exercice 4 — programmation Scratch : carrés et triangles équilatéraux, coordonnées du lutin. Adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Corrigé détaillé inclus.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Métropole de septembre 2019.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Amérique du Sud de novembre 2018.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Wallis-et-Futuna de décembre 2017.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Polynésie de juin 2016.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Asie de juin 2014.
Le collège n'apprend pas seulement à calculer : il apprend surtout de nouveaux nombres. C'est le fait marquant du cycle 4, et il structure tout le domaine — à chaque catégorie de nombres découverte correspond une opération qui butait et qui devient possible.
· Nombres relatifs — les négatifs, et l'ordre qui s'inverse
quand on passe de l'autre côté de zéro.
· Fractions et nombres rationnels — le quotient vu comme un
nombre.
· Puissances — le produit itéré, puis les exposants négatifs.
· Notation scientifique — l'écriture des très grands et des
très petits nombres.
Le programme officiel range dans le même domaine deux notions que ce site traite à part : la racine carrée, introduite en 4ème, et le calcul littéral, qui court sur tout le cycle. Elles appartiennent pourtant à la même histoire, et elles figurent ci-dessous à leur place.
Cette idée n'est jamais énoncée telle quelle en classe, et c'est dommage — elle rend la suite prévisible au lieu d'arbitraire. Le programme la formule pourtant sans détour à propos des négatifs : « les nombres relatifs sont introduits afin de rendre possible toutes les soustractions ».
· 3 − 5 n'a pas de réponse tant qu'on ne connaît que les entiers positifs.
Les relatifs lèvent l'interdit.
· 3 ÷ 4 ne tombe pas juste. Les fractions lèvent l'interdit — et le
quotient devient un nombre à part entière.
· Le côté d'un carré d'aire 2 n'est aucune fraction ; on ne peut que l'encadrer,
1,4142² < 2 < 1,4143². La racine carrée lui donne un nom exact.
· Écrire la distance Terre-Soleil ou la taille d'un atome avec tous leurs zéros est impraticable. Les
puissances de dix lèvent l'interdit.
Chaque extension conserve les règles de calcul précédentes — c'est ce qui la rend apprenable, et c'est aussi ce qui trompe : les règles se ressemblent tant qu'on croit pouvoir les deviner. Additionner des fractions n'est pas additionner des entiers, et c'est précisément là que les erreurs se logent.
Le programme précise que les puissances de dix s'apprennent sur des grandeurs réelles — astronomie, informatique, sciences de l'atome — et qu'on y introduit les préfixes de nano à giga, soit dix-huit rangs d'écart, en lien explicite avec les conversions d'unités.
Rare et précieux : le texte officiel prend la peine de trancher trois mots qu'on emploie souvent l'un pour l'autre.
· Le quotient est le résultat d'une division, ou l'expression de cette division.
· Une fraction est le quotient de deux entiers ; elle est à la fois un nombre, une
écriture, et un opérateur — la fraction d'une quantité.
· Un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers, sans référence à
une écriture particulière.
Et une précision qui clôt un vieux débat : « dans le programme, une fraction est à la fois un nombre et une écriture. On ne distingue pas fraction et écriture fractionnaire. »
Une régularité se dégage : chaque catégorie de nombres est d'abord définie et comparée, puis additionnée, et seulement ensuite multipliée et divisée. Les élèves qui butent en 4ème sur le produit de deux relatifs ont presque toujours sauté l'étape d'avant.
Au brevet, ce domaine ne fournit presque jamais d'exercice isolé : il est l'outil de tous les autres. Une aire à calculer, une probabilité à écrire, une longueur trouvée par Pythagore — chacune passe par une fraction, une puissance ou une racine. Les points s'y perdent rarement sur la méthode et souvent sur l'exécution : signe oublié, dénominateur non commun, arrondi prématuré.
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